Question

如图，在平面直角坐标中，点D在y轴上，以D为圆心，作⊙D交x轴于点E、F，交y轴于点B、G，点A在上，连接AB交x轴于点H，连接 AF并延长到点C，使∠FBC=∠A．

(1)判断直线BC与⊙D的位置关系，并说明理由；

(2)求证：BE²=BH·AB；

(3) 若点E坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，-2），AB=8，求F与A两点的坐标.

Answer

（1）直线BC与⊙D相切，理由见解析；

（2）证明见解析；

（3）F(4，0)，A(-4.8，4.4)

【解析】试题分析：（1）连FG，要证BC是切线，只需证∠DBC=90°，即证∠DBF+∠CBF=90°，而∠CBF=∠A，∠A=∠BGF，又∠BGF+∠DBF=90°，则可证明.

（2）连AE，则得到母子三角形的基本图形，结合垂径定理和圆周角定理证明△BEH∽△BAE即可.

（3）求坐标，作垂线，所以过点A分别向坐标轴作垂线，结合相似三角形的性质求出AQ，OQ的长即可.

试题解析（1）直线BC与⊙D相切.

证明：如图，连接GF，∵BG是⊙D直径，∴∠GFB=90°.

∴∠G+∠GBF=90°，

∵∠A=∠G ，∠FBC=∠A，∴∠G=∠FBC，

∴∠FBC+∠GBF=90°，即∠GBC=90°，

∴直线BC与⊙D相切.

(2) 如图，连接AE.

∵BG⊥EF， BG是⊙D直径.

∴，∴∠BEH=∠BAE ，∵∠BAE=∠EAH ， ∴△BEH∽△BAE.

∴ ∴BE2=BH·AB.

(3) 作AQ⊥GB，∵E（-4，0）,根据垂径定理得，OE=OF=4，∴F(4，0) .

∵BE2=BH·AB， BE2=OE2 +OB2=16+4=20， AB=8，∴BH=2.5，得OH=1.5 .

由△BOH∽△BQA，得AQ=4.8，BQ=6.4.

∴OQ=4.4 ，∴A(-4.8，4.4).