Question

如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．

（1）如图1，求证：△BCE≌△DCE；

（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB．

①求证：DE⊥FG；

②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长。

Answer

（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②DE=2（﹣1）

【解析】试题分析：（1）利用判定定理（SAS）可证；

（2）①利用（1）的结论与正方形的性质，只需证明∠FDE+∠DFG=90°即可；

②由DE⊥FG可构造直角三角形，利用等边三角形的性质及三角函数可求DE的长．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是其对角线，

∴∠DCE=∠BCE，CD=CB

在△BCE与△DCE中，

∴△BCE≌△DCE（SAS）．

（2）①∵由（1）可知△BCE≌△DCE，

∴∠FDE=∠FBC

又∵四边形ABCD是正方形，

∴CD∥AB，

∴∠DFG=∠BGF，∠CFB=∠GBF，

又∵FG=FB，

∴∠FGB=∠FBG，

∴∠DFG=∠CFB，

又∵∠FCB=90°，

∴∠CFB+∠CBF=90°，

∴∠EDF+∠DFG=90°，

∴DE⊥FG

②如下图所示，

∵△BFG为等边三角形，

∴∠BFG=60°，

∵由（1）知∠DFG=∠CFB=60°，

在Rt△FCB中，∠FCB=90°，

∴FC=CB•cot60°=，DF=2-，

又∵DE⊥FG，

∴∠FDE=∠FED=30°，OD=OE，

在Rt△DFO中，

OD=DF•cos30°=-1，

∴DE=2（-1）

【点睛】本题考查了正方形、等边三角形、直角三角形及三角函数等知识点，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理、两直线垂直的条件及综合应用所学知识的能力．