Question

如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC.

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）设AD＝4，AB＝x (x > 0)，BC＝y (y > 0). 求y关于x的函数解析式.

Answer

（1）证明见解析；（2）y＝x2

【解析】（1）证明：过O做OE⊥CD于点E，

则∠OED＝90°

∵⊙O与AM相切于点A

∴∠OAD＝90°

∵OD平分∠ADE

∴∠ADO＝∠EDO

∵OD＝OD

∴△OAD≌△OED

∴OE＝OA

∵OA是⊙O的半径

∴OE是⊙O的半径

∴CD是⊙O的切线

（2）过点D做DF⊥BC于点F，则DF＝AB＝x

∵AD＝4，BC＝y

∴CF＝BC－AD＝y－4

由切线长定理可得：

∴DE＝DA，CE＝CB

∴CD＝CE＋ED

＝BC＋AD

＝4＋y

在Rt△DFC中，

∵CD2＝DF2＋FC2

∴(y＋4)＝x 2＋(y－4)2

整理得：y＝x2

则y关于x的函数关系式为：y＝x2

解法二：连接OC，

∵CD、CB都是⊙O的切线

∴CE＝CB＝y

OC平分∠BCD

即：∠OCD＝∠BCD

同理：DE＝AD＝4

∠CDO＝∠CDA

∵AM、BN分别与⊙O相切

且AB为⊙O的直径

∴AM//BN

∴∠BCD＋∠CDA＝180°

∴∠OCD＋∠CDO＝90°

∵∠CDO＋∠OCD＋∠COD＝180°

∴∠COD＝90°

∵在Rt△OAD中

OD2＝OA2＋AD2

即OD2＝()2＋42

同理可得：

OC2＝()2＋y2

∵CD＝CE＋ED＝y＋4

∴在Rt△OCD中

CD2＝OC2＋OD2

即(y＋4)2＝()2＋42＋()2＋y2

整理得：y＝x2

则y关于x的函数关系式为：y＝x2

点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定，解答本题主要应用了切线的性质和判定定理、全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．