Question

如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．

（1）若∠B=72°，求∠CAD的度数；

（2）若AB=13，AC=12，求DE的长．

Answer

（1）∠CAD的度数为36°；（2）DE的长为4．

【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；

（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．

试题解析：（1）∵AB是半圆O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∵OD∥BC，

∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°-∠B=90°-70°=20°，∠AOD=∠B=70°．

∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ADO= =55°

∴∠CAD=∠DAO-∠CAB=55°-20°=35°；

（2）在直角△ABC中，BC=．

∵OE⊥AC，

∴AE=EC，

又∵OA=OB，

∴OE=BC=．

又∵OD=AB=6.5，

∴DE=OD-OE=6.5-=4．