Question

已知在△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．

（1）求证： ；

（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．

Answer

（1）证明见解析;(2)4.

【解析】试题分析：（1）本题利用两角法判定三角形相似，利用相似三角形的性质得出比例式即可；(2)利用切线的性质和特殊角的三角函数值判断出∠OBD=30°，进而得出∠BAC=30°，利用30°所对的直角边是斜边的一半即可得出.

试题解析：

（1）证明：连接DE,

∵AE是直径,∴∠ADE=90°.

∴∠ADE=∠ABC.

又∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC. (3分)

∴. (4分)

（2）【解析】
连接OD,

∵BD是⊙O的切线,

∴OD⊥BD

∴∠ODB=90°. (5分)

∵在Rt△OBD中，E是OB的中点，

∴DE= =BE=OE=OD, (6分)

∴sin∠OBD= .

∴∠OBD=30° (7分)

同理∠BAC=30°. (8分)

在Rt△ABC中,AC=2BC=2×2=4.(9分)

点睛：本题的关键是相似三角形的判定，要根据已知条件或者要求证的比例线段找到相似三角形，才可以得出结论；第二问的关键是利用切线的性质和直角三角形的性质得出结论.