Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C₁：y=的顶点为M，与y轴相交于点N，先将抛物线C₁沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C₂：直线l：y=kx+b经过M，N两点．

（1）结合图象，直接写出不等式x²+6x+2＜kx+b的解集；

（2）若抛物线C₂的顶点与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C₂的解析式；

（3）若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后，与（2）中的抛物线C₂存在公共点，

求3﹣4q的最大值．

Answer

（1）﹣2＜x＜0（2）y=﹣x2+6x﹣2（3）当q=时，3﹣4q取最大值，最大值为﹣7

【解析】试题分析：(1)、首先根据二次函数的解析式分别求出点M和点N的坐标，然后根据图像得出不等式的取值范围；(2)、根据翻折得出抛物线的顶点坐标和开口方向以及大小，从而得出抛物线的函数解析式；(3)、首先将点M和点N的坐标代入一次函数解析式得出一次函数的解析式，然后设平移后的解析式为y=3x+2-q，然后根据与抛物线有交点得出方程有实数根，从而得出最大值.

试题解析：（1）令y=中x=0，则y=2，

∴N（0，2）； ∵y==（x+2）2﹣4， ∴M（﹣2，﹣4）．

观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0时，抛物线C1在直线l的下方，

∴不等式x2+6x+2＜kx+b的解集为﹣2＜x＜0．

（2）∵抛物线C1：y=的顶点为M（﹣2，﹣4），

沿x轴翻折后的对称点坐标为（﹣2，4）． ∵抛物线C2的顶点与点M关于原点对称，

∴抛物线C2的顶点坐标为（2，4）， ∴p=2﹣（﹣2）=4．

∵抛物线C2与C1开口大小相同，开口方向相反，

∴抛物线C2的解析式为y=﹣（x﹣2）2+4=﹣x2+6x﹣2．

（3）将M（﹣2，﹣4）、N（0，2）代入y=kx+b中，得： ，解得： ，

∴直线l的解析式为y=3x+2．

∵若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后与抛物线C2存在公共点，

∴方程﹣x2+6x﹣2=3x+2﹣q有实数根，即3x2﹣6x+8﹣2q有实数根，

∴△=（﹣6）2﹣4×3×（8﹣2q）≥0，解得：q≥． ∵﹣4＜0，

∴当q=时，3﹣4q取最大值，最大值为﹣7．

点睛：本题主要考查的就是二次函数的图形与性质、一次函数的性质、二次函数与一次函数的大小比较的方法以及函数与方程之间的关系，属于中上难度的题目.在解答函数大小比较的题目时，我们首先根据方程的思想得出两个函数的交点坐标，然后过交点作x轴的垂线，然后根据函数所处的位置进行比较大小得出答案；函数关于x轴对称，则顶点坐标的纵坐标变为相反数，开口方向发生改变，开口大小不改变；在求直线与抛物线是否有交点时，则联立成方程，然后根据一元二次方程根的判别式来进行判定.