Question

已知，正方形ABCD的边长为4，点E是对角线BD延长线上一点，AE=BD．将△ABE绕点A顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△AB′E′，点B、E的对应点分别为B′、E′．

（1）如图1，当α=30°时，求证：B′C=DE；

（2）连接B′E、DE′，当B′E=DE′时，请用图2求α的值；

（3）如图3，点P为AB的中点，点Q为线段B′E′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ长度的取值范围为　            　．

Answer

（1）证明见解析（2）45°（3）≤PQ≤4+2

【解析】试题分析：(1)、连接AC，B′C，根据正方形的性质得出得出AC=AE=2OA，根据Rt△AOE的性质得出∠E=30°，然后结合旋转图形的性质得出△ADE和△AB′C全等，从而得出答案；(2)、根据旋转图形的性质得出△AEB′和△AE′D全等，从而得出∠DAE′=∠EAB′，然后结合旋转图形的性质得出∠EAE′=∠BAB′，从而得到∠BAB′=∠DAB′，最后根据∠BAB′+∠DAB′=90°得出答案；(3)、点P作PM⊥BE，∵AB=4，点P是AB中点，根据BP=2得出PM=；在旋转过程中，△ABE在旋转到点E在BA的延长线时，点Q和点E重合，然后求出PQ的长度，从而得出取值范围.

试题解析：（1）如图，连接AC，B′C， ∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，AC⊥BD，AC=BD=2OA，∠CAB=ADB=45°， ∵AE=BD， ∴AC=AE=2OA，

在Rt△AOE中，∠AOE=90°，AE=2OA， ∴∠E=30°，

∴∠DAE=∠ADB﹣∠E=45°﹣30°=15°， 由旋转有，AD=AB=AB′∠BAB′=30°

∴∠DAE=15°，

在△ADE和△AB′C中， ， ∴△ADE≌△AB′C，∴DE=B′C，

（2）如图，

由旋转得，AB′=AB=AD，AE′=AE，

在△AEB′和△AE′D中， ，∴△AEB′≌△AE′D，∴∠DAE′=∠EAB′，

∴∠EAE′=∠DAB′，由旋转得，∠EAE′=∠BAB′，∴∠BAB′=∠DAB′，

∵∠BAB′+∠DAB′=90°，∴α=∠BAB′=45°，

（3）如图，由点到直线的距离，过点P作PM⊥BE，∵AB=4，点P是AB中点，

∴BP=2，∴PM= ，

在旋转过程中，△ABE在旋转到点E在BA的延长线时，点Q和点E重合，

∴AQ=AE=BQ=4 ∴PQ=AQ+AP=4+2，

故答案为≤PQ≤4+2．