Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，的解析式为，若将抛物线平移，使平移后的抛物线经过点，  对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点是，顶点是，连结.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：∽

（3）半径为的⊙的圆心沿着直线从点运动到，运动速度为1单位/秒，运动时间为秒，⊙绕着点顺时针旋转得⊙，随着⊙的运动，求的运动路径长以及当⊙与轴相切的时候的值.

Answer

（1）（2）证明见解析（3）P1的运动路径长为8，运动时间为5秒或7秒。

【解析】试题分析：（1）设抛物线l2的解析式为y=（x+a）2+c，由抛物线l1的解析式，可求出点A的坐标，由抛物线l2的对称轴以及点A的坐标即可求出a、c的值，由此得出结论；

（2）由抛物线的对称性可知△DAE为等腰三角形，由l2的解析式可得出D点、E点坐标，根据两点间的距离公式可求出OE=OD，由两等腰三角形一个底角相等即可得出△ADE∽△DOE；

（3）由旋转的特性可知P1的运动路径长与P的运动路径长相等，由圆与直线相切可得出相切时D′P1的长度，由时间=路程÷速度即可得出结论。

试题解析：

【解析】
（1）设抛物线l2的解析式为y=（x+a）2+c，

∵抛物线l2的对称轴为x=﹣6，

∴a=6．

令l1的解析式y=x2﹣2=0，

解得：x=±2．

∴A点的坐标为（﹣2，0），B点的坐标为（2，0）．

将点A（﹣2，0）代入l2的解析式中，得×（﹣2+6）2+c=0，

解得：c=﹣8．

故抛物线l2的解析式为y=﹣8．

（2）证明：令l2的解析式y=﹣8=0，

解得x=﹣10，或x=﹣2，

故点E的坐标为（﹣10，0）．

由抛物线的对称性可知△ADE为等腰三角形．

∵点O（0，0），点E（﹣10，0），点D（﹣6，﹣8），

∴OE=0﹣（﹣10）=10，OD==10，

∴OE=OD，

即△OED为等腰三角形，

又∵∠DEA=∠OED，且两者均为底角，

∴△ADE∽△DOE．

（3）过点C作CN⊥DF于点N，根据题意画出图形如图所示．

点D旋转后到达D′处，点F旋转后到达F′处．

根据旋转的性质可知D′F′=DF，

∵点D（﹣6，﹣8），点F（﹣6，0），

∴P1的运动路径长为DF=8．

∵DF∥y轴，

∴D′F′∥x轴，

∴四边形NCMD′为平行四边，

∴D′M=NC．

∵l1的解析式为y=x2﹣2，

∴点C的坐标为（0，﹣2），

∴点N的坐标为（﹣6，﹣2），

∴NC=0﹣（﹣6）=6．

∵⊙P1的半径为1，

∴当D′P1=D′M±1时，⊙P1与y轴相切，

此时D′P1=5，或D′P1=7．

∵⊙P的运动速度为1单位/秒，

∴⊙P1的运动速度为1单位/秒，

∴运动时间为5秒或7秒。

点睛：求函数的解析式主要的方法之一待定系数法，主要过程有（1）设函数解析式；（2）找或求出函数图象上两个点的坐标；（3）将两个点的坐标代入函数解析式中，求出其中未未知数；（4）将未知数的值代入解析式中，写出函数的解析式。