Question

要利用28米长的篱笆和一堵最大可利用长为12米的墙围成一个如图1的一边靠墙的矩形养鸡场，在围建的过程中遇到了以下问题，请你帮忙来解决.

（1）这个矩形养鸡场要怎样建面积能最大？求出这个矩形的长与宽；

（2）在（1）的前提条件下，要在墙上选一个点，用不可伸缩的绳子分别连接，点取在何处所用绳子长最短？

（3）仍然是矩形养鸡场面积最大的情况下，若把（2）中的不可伸缩的绳子改为可以伸缩且有弹性的绳子，点可以在墙上自由滑动，求的最大值.

        图1                                 图2

Answer

（1）矩形长为12米，宽为8米（2）20（3）

【解析】试题分析：1）设这个矩形的长为x米（0＜x≤12），则宽为米，根据矩形的面积=长×宽，即可得出面积S关于长x之间的函数关系式，由二次函数在x的取值范围内的单调性即可得出结论；

（2）作点C关于AD的对称点C′，连接BC′交AD于点P，连接PC，由三角形中两边之和大于第三边可知，当B、P、C′共线时PB+PC最小，根据相似三角形的性质即可得出P点在AD中点时，用的绳子最短，求出此时C′B的长度即可；

（3）作一个圆，使该圆经过B、C点且和AD相切，由外角知识及圆周角定理可知∠BPC≤∠BGC（P、G重合时取等号），根据三角形的面积公式即可算出取最大值时sin∠BPC的值。

试题解析：

【解析】
（1）设这个矩形的长为x米（0＜x≤12），则宽为米，

根据矩形的面积公式可知S=x•=﹣（x﹣14）2+98，

∵0＜x≤12，在此区间内面积S关于长x的函数单调递增，

∴当x=12时，S取最大值，S最大=96，

此时=8．

故把整堵墙壁都用起来，矩形长为12米，宽为2米时矩形养鸡场的面积最大．

（2）作点C关于AD的对称点C′，连接BC′交AD于点P，连接PC，如图一所示．

∵点C、C′关于AD对称，

∴PC=PC′，

∴PB+PC=PB+PC．

由三角形内两边之和大于第三边可知：当B、P、C′共线时PB+PC最小．

∵AD∥BC，

∴△C′PD∽△C′BC，

∴=，

∴PD=BC，即P为AD的中点．

此时C′B==20（米）．

故当点P选在AD中点处时，需要的绳子最短，最短绳长为20米．

（3）作一个圆，使该圆经过B、C点且和AD相切，如图二所示．

任取线段AD上一点P，连接BP、CP，令CP与圆交于点G，连接BG．

∵∠BGC=∠BPC+∠PBG，

∴∠BPC≤∠BGC．

当P、G两点重合时取等号，此时点P为AD的中点．

∵AD=12，AB=8，

∴AP=6，

由勾股定理得：BP==10，

∵△PBC的面积S=BP•CP•sin∠BPC=×10×10sin∠BPC=BC•AB=×12×8，

∴sin∠BPC=．

故sin∠BPC的最大值为．

点睛：二次函数的性质、最短路径问题、相似三角形的判定及性质、圆周角定理以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）根据面积=长×宽得出面积S关于长x的函数关系式；（2）找出当PB+PC最短时点P的位置；（3）找出∠BPC最大时点P的位置．（3）寻找点P位置时有些难度，此问借助了圆周角定理以及外角的有关知识寻找到∠BPC最大时点P的位置，求∠BPC的正弦值时巧妙的利用了三角形的面积的两种求解方程，减少了解直角三角形的步骤。