Question

如图，一次函数y=－x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=－+bx+c过A、B两点．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

Answer

y=-+3．5x+2；t=2时，最大值为4；（0，6），（0，-2）或（4，4）

【解析】试题分析：根据题意得出点A和点B的坐标，然后将两点代入函数解析式得出b和c的值，得出函数解析式；设出点M和点N的坐标，从而得出MN的长度，根据二次函数的性质得出最大值；根据题意得出点A、点M和点N的坐标，然后根据平行四边形的性质得出三种情况，从而求出点D的坐标．

试题解析：（1）求A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0） 将x=0，y=2代入y=-+bx+c得c=2

将x=4，y=0代入y=-+bx+c得0=-16+4b+2，解得b=3．5

∴抛物线解析式为：y=-+3．5x+2

（2）由题意，易得M（t，-t+2）， N（t， -+3．5t+2），从而MN=-+3．5t+2-（-t+2）=-+4t=－

∴当t=2时，MN有最大值4

（3） 由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．

以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如答图2所示．

当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）

由AD=MN，得|a-2|=4，解得=6，=-2，

从而D为（0，6）或D（0，-2）

当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点，求出直线D1N与D2M的解析式

由两解析式联立解得D为（4，4）

故所求的D点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）

考点：二次函数的性质