Question

已知的两边、的长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5.

（1）当为何值时， 是直角三角形；

（2）当为何值时， 是等腰三角形，并求出的周长.

Answer

（1）2；（2）14或6

【解析】试题分析：

（1）△ABC是以BC为斜边的直角三角形，即AB，AC的平方和是25，则一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根的平方和是25，根据韦达定理和勾股定理解出k的值，再把k的值代入原方程，检查k是哪个值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形则可；（2）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后两种情况相同，则可有另种情况，再由根与系数的关系得出k的值，再求的周长。

试题解析：

（1）设边AB=a，AC=b

∵a、b是方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两根

∴a+b=2k+3，a－b=k2+3k+2

又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5

∴a2+b2=52，

即（a+b）2-2ab=52，

∴（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25

∴k2+3k-10=0

∴k1=-5或k2=2

当k=-5时，方程为：x2+7x+12=0

解得：x1=-3，x2=-4（舍去）

当k=2时，方程为：x2-7x+12=0

解得：x1=3，x2=4

∴当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

（2）∵△ABC是等腰三角形；

∴当AB=AC时，△=b2-4ac=0，

∴（2k+3）2-4（k2+3k+2）=0

解得k不存在；

当AB=BC时，即AB=5，

∴5+AC=2k+3，5AC=k2+3k+2，

解得k=3或4，

∴AC=4或6，

∴△ABC的周长为14或16