Question

如图，二次函数的图像与轴交于点，点是轴上一点，其坐标为(1，0)，连接.

   (1)则点的坐标为        ，=      ;

   (2)过点作的垂线与该二次函数的图像交于另一点，求点的坐标;

   (3)连接，过点作直线交线段于点，设点、点到的距离分别为、，求的最大值.

Answer

(1)（0，2）； （2）（4，4）（3）5

【解析】试题分析：（1）令x=0，则y=4a+3，即OA=4a+3，再根据tan∠ABO=2，即可求出a的值，从而求出点A坐标；

（2）求出AB据所在直线解析式，又AB与过点A的直线垂直，从而求出过点A的直线解析式，与二次函数解析式联立，即可求出点C的坐标；

（3）易得AC和BC的长度，由面积法得到AM•BC=AP•d1+AP•d2，由此可得d1+d2=，过A作AM⊥BC于M，利用△ABC的面积可求得AM的长，在Rt△APM中，AP≥AM，故d1+d2≤，只要求得BC的长，由此可确定d1+d2的最大值．

试题解析：（1）令x=0，则y=4a+3，即OA=4a+3，

∵B（1，0）

∴OB=1

在RtΔABO中，tan∠ABO=2

即

解得：a= ，4a+3=2，

∴A（0，2）

（2）设线段AB所在直线解析式为y=kx+b，把B（1，0），A（0，2）代入得：

，解得：k=-2，b=2

所以线段AB所在直线解析式为y=-2x+2

又过点A的直线与AB垂直，故其解析式为

由（1）得 a=，所以：y=x2+x+2

联立方程组，得

，解得：，

∴点C的坐标为（4，4）

（3）如图，过点A作AM⊥BC于M，过点B作BF⊥AP于F．过点D作DE⊥AP于E，则BF=d1，DE=d2．

过点C作CG⊥x轴，则：BC=

S梯形AOGC=（AO+CG） •OG=×(2+4)×4=12

SΔABO=AO•BO=×2×1=1

SΔCBG=CG•CG=×3×4 =6

∴SΔABC=S梯形AOGC-SΔABO-SΔCBG=12-1-6=5

∴AM=5

由面积法得到AM•BC=AP•d1+AP•d2，由此可得d1+d2=，

Rt△APM中，AP≥AM，故d1+d2≤，

所以，d1+d2的最大值为5．

【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、三角形面积的计算方法以及不等式的应用等重要知识，涉及知识面广，难度较大．