Question

如图，是⊙的直径，、为⊙上位于异侧的两点，连接 并延长至点，使得，连接交⊙于点，连接、、.

（1）证明: ;

（2）若，求的度数;

（3）设交于点，若是的中点，求的值.

Answer

（1）证明见解析（2）110°；（3）18.

【解析】试题分析: （1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；
（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°-∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；
（3）根据cosB=，得出AB的长，即可求出AE的长，再判断△AEG∽△DEA，求出EG•ED的值．

试题解析:（1）连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵CD=BD，

∴AD垂直平分BC，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠B=∠E，

∴∠E=∠C；

（2）∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，

∴∠AFD=180°-∠E，

又∵∠CFD=180°-∠AFD，

∴∠CFD=∠E=55°，

又∵∠E=∠C=55°，

∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；

（3）连接OE，

∵∠CFD=∠E=∠C，

∴FD=CD=BD=4，

在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，

∴AB=6，

∵E是的中点，AB是⊙O的直径，

∴∠AOE=90°，

∵AO=OE=3，

∴AE=3，

∵E是的中点，

∴∠ADE=∠EAB，

∴△AEG∽△DEA，

∴，

即EG•ED=AE2=18．

【点睛】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出AE，AB的长是解题关键．