Question

如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是_____________．

Answer

【解析】由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA的解析式为y=x，联立 ，消掉y得，x2﹣2x+2k=0，△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2k=0，即k= 时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1，∵点B的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A的坐标为（，），∴交点在线段AO上；当抛物线经过点B（2，0）时， ×4+k=0，解得k=﹣2，∴要使抛物线y= x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是﹣2＜k＜ ．故答案为：．

点睛：本题主要考查二次函数的性质，主要是联立两函数解析式组成方程组，然后确定方程组的解的个数，再根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解决问题的关键所在.