Question

如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）.动点P从点A出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x+b也随之移动，设移动时间为t秒.

（1）当t＝3时，求l的解析式；

（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；

（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上.

Answer

（1）y=-x+4；（2）4<t<7；（3）t=1时，落在y轴上；t=2时，落在x轴上

【解析】

试题分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的解析式；

（2）分别求出直线l经过点M、点N时的t值，即可得到t的取值范围；

（3）找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点E、F，如解答图所示．求出点E、F的坐标，然后分别求出ME、MF中点坐标，最后分别求出时间t的值．

试题解析：（1）直线y=-x+b交y轴于点P（0，b），

由题意，得b＞0，t≥0，b=1+t．

当t=3时，b=4，

故y=-x+4．

（2）当直线y=-x+b过点M（3，2）时，

2=-3+b，

解得：b=5，

5=1+t，

解得t=4．

当直线y=-x+b过点N（4，4）时，

4=-4+b，

解得：b=8，

8=1+t，

解得t=7．

故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4＜t＜7．

（3）如图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点．

过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．

已知∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，

∴DE=MD=2，OE=OF=1，

∴E（1，0），F（0，-1）．

∵M（3，2），F（0，-1），

∴线段MF中点坐标为（，）．

直线y=-x+b过点（，），则=-+b，解得：b=2，

2=1+t，

解得t=1．

∵M（3，2），E（1，0），

∴线段ME中点坐标为（2，1）．

直线y=-x+b过点（2，1），则1=-2+b，解得：b=3，

3=1+t，

解得t=2．

故点M关于l的对称点，当t=1时，落在y轴上，当t=2时，落在x轴上．

【点睛】本题是动线型问题，考查了坐标平面内一次函数的图象与性质．难点在于第（3）问，首先注意在x轴、y轴上均有点M的对称点，不要漏解；其次注意点E、F坐标以及线段中点坐标的求法．