Question

在中，，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使，连接．

（1）如图1，当点在线段上，如果，则        度；

(2)如图2 如果，则=           度；

（3）设，．

①如图3，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②当点在直线上移动，请直接写出之样的数量关系，不用证明。

Answer

（1）90°（2）120° （3） ①α+β=180°②α+β=180°，α=β

【解析】

试题分析：（1）由条件可证得△ABD≌△ACE，可得∠ABD=∠ACE=45°，利用条件可求得∠ACB=45°，可求得∠BCE=90°；

（2）同（1）可证得∠ABD=∠ACE，在△ABC中由等腰三角形的性质可求得∠ACD，从而可求得∠BCE；

（3）①同（1）可证得∠ABD=∠ACE，在△ABC中由等腰三角形的性质可求得∠ACD=∠ABC=，从而可求得∠BCE；②过程同①．

试题解析：（1）∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABD=∠ACB=45°，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，

（2）∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴∠ABD=∠ACB==60°，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°；

（3）①∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，∠BAC=α，

∴∠ABD=∠ACB=，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=2∠ACB=180°-α，

②如图，当点D在射线BC上时，α+β=180°

如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．

【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等，把后面的问题都转化为第（1）问中的问题是解题的关键，即利用三角形全等证得角相等．本题所考查知识都是基础知识，难度不大，属于中档题．