Question

如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且.

（1）求证： ≌

  （2）若，求的度数.

Answer

（1）证明见解析（2）60°

【解析】

试题分析：（1）由∠ABC=90°就可以求出∠CBF=90°，由SAS就可以得出△ABE≌△CBF；

（2）由∠CAE=30°就可以求出∠BAE=15°，就可以得出∠BCF=15°，由条件可以求出∠ACB=45°，进而可以求出∠ACF的度数．

试题解析：（1）证明：∵∠ABC=90°,

∴∠CBF=∠ABE=90°,

在Rt△ABE和Rt△CBF中,

∴Rt△ABE≌△Rt△CBF（HL）

（2）∵AB=BC,∠ABC=90°,

∴∠CAB=∠ACB=45°,

又∵∠BAE=∠CAB-∠CAE

∴∠BAE =45°-30°=15°,

由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF,

∴∠BCF=∠BAE=15°,

∵∠ACF=∠BCF+∠ACB

∠ACF =45°+15°=60°．

【点睛】本题考查了垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．