Question

若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线：与：为“友好抛物线”．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点A是抛物线上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值．

（3）设抛物线的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），问在的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．

Answer

(1) ；(2) 当a=时，AQ+OQ有最大值，最大值为(3)存在点M，（1，2）或（1，5）.

【解析】

试题分析：（1）先求得顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得m、n的值；

（2）设A（a，）．则OQ=x，AQ=，然后得到OQ+AQ与a的函数关系式，最后依据配方法可求得OQ+AQ的最值；

（3）连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．接下来证明△BCM≌△MDB′，由全等三角形的性质得到BC=MD，CM=B′D，设点M的坐标为（1，a）．则用含a的式子可表示出点B′的坐标，将点B′的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M的坐标．

试题解析：（1）∵=，

∴抛物线的顶点坐标为（1，4）．

∵抛物线与顶点相同，

∴=1，﹣1+m+n=4．

解得：m=2，n=3．

∴抛物线的解析式为；

（2）如图1所示：

设点A的坐标为（a，）．

∵AQ=，OQ=a，

∴AQ+OQ=+a==．

∴当a=时，AQ+OQ有最大值，最大值为．

（3）存在点M，理由如下：

如图2所示；连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．

∵B（﹣1，4），C（1，4），抛物线的对称轴为x=1，

∴BC⊥CM，BC=2．

∵∠BMB′=90°，

∴∠BMC+∠B′MD=90°．

∵B′D⊥MC，

∴∠MB′D+∠B′MD=90°．

∴∠MB′D=∠BMC．

在△BCM和△MDB′中，∠MB′D=∠BMC ，∠BCM=∠MDB′，BM=MB′，

∴△BCM≌△MDB′．

∴BC=MD，CM=B′D．

设点M的坐标为（1，a）．则B′D=CM=4﹣a，MD=CB=2．

∴点B′的坐标为（a﹣3，a﹣2）．

∴，

整理得：﹣7a+10=0．

解得a=2，或a=5．

当a=2时，M的坐标为（1，2），

当a=5时，M的坐标为（1，5）．

综上所述当点M的坐标为（1，2）或（1，5）时，B′恰好落在抛物线上．

考点：二次函数综合题．