Question

如图1，AB是⊙O的直径，AC是弦，点P是的中点，PE⊥AC交AC的延长线于E．

（1）求证：PE是⊙O的切线；

（2）如图2，作PH⊥AB于H，交BC于N，若NH=3，BH=4，求PE的长．

Answer

(1)证明详见解析；(2)8．

【解析】

试题分析：（1）连接BC、OP，由AB是⊙O的直径、PE⊥AE知PE∥BC，根据点P是的中点知OP⊥BC，即可得OP⊥PE，得证；

（2）由（1）知，四边形PECQ是矩形，从而可设PE=CQ=BQ=x，根据勾股定理求得BN的长，先证△BHN∽△BQO得，表示出BO、OQ的长，再证△PQN∽△BHN得，即，求出x即可．

试题解析：（1）如图1，连接BC、OP，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AE，

又∵PE⊥AE，

∴PE∥BC，

∵点P是的中点，

∴OP⊥BC，

∴OP⊥PE，

∴PE是⊙O的切线；

（2）如图2，连接OP，

由（1）知，四边形PECQ是矩形，

∴设PE=CQ=BQ=x，

∵NH=3，BH=4，PH⊥AB，

∴BN=5，

∵∠B=∠B，∠BHN=∠BQO=90°，

∴△BHN∽△BQO，

∴，即，

解得：BO=，OQ=，

∴PQ=PO﹣OQ=BO﹣OQ=，

∵∠PNQ=∠BNH，∠PQN=∠BHN=90°，

∴△PQN∽△BHN，

∴，即，

解得：x=8，

∴PE=8．

考点：切线的判定；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．