Question

如图，直线y=﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x²+bx+c经过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA、PB、PO，若△POA的面积是△POB面积的倍．

①求点P的坐标；

②点Q为抛物线对称轴上一点，请直接写出QP+QA的最小值；

（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．

Answer

(1) y=﹣x2+x+1；（2）①P（，1）；② ；（3）满足条件的点M的坐标（1+，（1﹣））或（1﹣，﹣（1+））或（1， ）或M（﹣（1+），（3+））或M（﹣（1﹣），（3﹣））.

【解析】

试题分析：（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；（2）设出点P的坐标，①用△POA的面积是△POB面积的倍，建立方程求解即可；②利用对称性找到最小线段，用两点间距离公式求解即可；（3）分OB为边和为对角线两种情况进行求解，①当OB为平行四边形的边时，用MN∥OB，表示和用MN=OB，建立方程求解；②当OB为对角线时，OB与MN互相平分，交点为H，设出M，N坐标用OH=BH，MH=NH，建立方程组求解即可．

试题解析：（1）∵直线y=﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴A（2，0），B（0，1），

∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，

∴ ，

∴

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+1，

（2）①由（1）知，A（2，0），B（0，1），

∴OA=2，OB=1，

由（1）知，抛物线解析式为y=﹣x2+x+1，

∵点P是第一象限抛物线上的一点，

∴设P（a，﹣a2+a+1），（（a＞0，﹣a2+a+1＞0），

∴S△POA=OA×Py=×2×（﹣a2+a+1）=﹣a2+a+1

S△POB=OB×Px=×1×a=a

∵△POA的面积是△POB面积的倍．

∴﹣a2+a+1=×a，

∴a=或a=﹣（舍）

∴P（，1）；

②如图1，

由（1）知，抛物线解析式为y=﹣x2+x+1，

∴抛物线的对称轴为x= ，抛物线与x轴的另一交点为C（﹣，0），

∵点A与点C关于对称轴对称，

∴QP+QA的最小值就是PC= ；

（3）①当OB为平行四边形的边时，MN=OB=1，MN∥OB，

∵点N在直线AB上，

∴设M（m，﹣m+1），

∴N（m，﹣m2+m+1），

∴MN=|﹣m2+m+1﹣（﹣m+1）|=|m2﹣2m|=1，

Ⅰ、m2﹣2m=1，

解得，m=1±，

∴M（1+，（1﹣））或M（1﹣，（1+））

Ⅱ、m2﹣2m=﹣1，

解得，m=1，

∴M（1，）；

②当OB为对角线时，OB与MN互相平分，交点为H，

∴OH=BH，MH=NH，

∵B（0，1），O（0，0），

∴H（0，），

设M（n，﹣n+1），N（d，﹣d2+d+1）

∴ ，

∴ 或，

∴M（﹣（1+），（3+））或M（﹣（1﹣），（3﹣））；

即：满足条件的点M的坐标（1+，（1﹣））或（1﹣，﹣（1+））或（1， ）或M（﹣（1+），（3+））或M（﹣（1﹣），（3﹣））；

考点：二次函数综合题．