Question

已知二次函数y=﹣x²+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．

（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；

（3）当2≤x≤4时，求y的最大值．

Answer

(1) y=﹣x2+2x+3;(2) ﹣1＜x＜3，y＞0；(3) 当x=2时，y的最大值是3．

【解析】

试题分析：（1）因为点（﹣1，0），（0，3）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，可代入确定b、c的值；（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，根据图象确定y＞0时，x的取值范围；（3）根据二次函数的增减性，确定2≤x≤4时，y的最大值．

试题解析：（1）把（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，

得

解得 ，

所以二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3

（2）把x=0代入y=﹣x2+bx+c中，

得﹣x2+bx+c=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

所以当﹣1＜x＜3，y＞0；

（3）由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

抛物线的对称轴为直线x=1，

则当2≤x≤4时，y随着x的增大而减小，

∴当x=2时，y的最大值是3．

考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的图象；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．