Question

图1和图2中的正方形ABCD和四边形AEFG都是正方形．

（1）如图1，连接DE，BG，M为线段BG的中点，连接AM，探究AM与DE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；

（2）在图1的基础上，将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结DE、BG，M为线段BG的中点，连结AM，探究AM与DE的数量关系和位置关系，并证明你的结论．

Answer

（1）AM=DE，AM⊥DE，理由详见解析；（2）AM=DE，AM⊥DE，理由详见解析.

【解析】

试题分析：（1）AM=DE，AM⊥DE，理由是：先证明△DAE≌△BAG，得DE=BG，∠AED=∠AGB，再根据直角三角形斜边的中线的性质得AM=BG，AM=BM，则AM=DE，由角的关系得∠MAB+∠AED=90°，所以∠AOE=90°，即AM⊥DE；（2）AM=DE，AM⊥DE，理由是：作辅助线构建全等三角形，证明△MNG≌△MAB和△AGN≌△EAD可以得出结论．

试题解析：（1）AM=DE，AM⊥DE，理由是：

如图1，设AM交DE于点O，

∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，

∴AG=AE，AD=AB，

∵∠DAE=∠BAG，

∴△DAE≌△BAG，

∴DE=BG，∠AED=∠AGB，

在Rt△ABG中，

∵M为线段BG的中点，

∴AM=BG，AM=BM，

∴AM=DE，

∵AM=BM，

∴∠MBA=∠MAB，

∵∠AGB+∠MBA=90°，

∴∠MAB+∠AED=90°，

∴∠AOE=90°，即AM⊥DE；

（2）AM=DE，AM⊥DE，理由是：

如图2，延长AM到N，使MN=AM，连接NG，

∵MN=AM，MG=BM，∠NMG=∠BMA，

∴△MNG≌△MAB，

∴NG=AB，∠N=∠BAN，

由（1）得：AB=AD，

∴NG=AD，

∵∠BAN+∠DAN=90°，

∴∠N+∠DAN=90°，

∴NG⊥AD，

∴∠AGN+∠DAG=90°，

∵∠DAG+∠DAE=∠EAG=90°，

∴∠AGN=∠DAE，

∵NG=AD，AG=AE，

∴△AGN≌△EAD，

∴AN=DE，∠N=∠ADE，

∵∠N+∠DAN=90°，

∴∠ADE+∠DAN=90°，

∴AM⊥DE．

考点：旋转的性质；正方形的性质．