Question

已知关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0．

（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：

（2）若x₁，x₂是原方程的两根，且|x₁﹣x₂|=2，求m的值，并求出此时方程的两根．

Answer

(1)证明见解析；（2）当m=﹣3时，x1=，x2=﹣，当m=1时，x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．

【解析】

试题分析：（1）根据关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的根的判别式△=b2﹣4ac的符号来判定该方程的根的情况；

（2）根据根与系数的关系求得x1+x2=﹣（m+3），x1•x2=m+1；然后由已知条件“|x1﹣x2|=2”可以求得（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=8，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m值代入原方程并解方程．

试题解析: （1）∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=（m+1）2+4，

∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0，

∴原方程总有两个不相等的实数根．

（2）∵x1，x2是原方程的两根，

∴x1+x2=﹣（m+3），x1•x2=m+1，

∵|x1﹣x2|=2

∴（x1﹣x2）2=（2）2，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，

∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）=8∴m2+2m﹣3=0，

解得：m1=﹣3，m2=1．

当m=﹣3时，原方程化为：x2﹣2=0，

解得：x1=，x2=﹣，

当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，

解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．

考点：1.根的判别式；2.根与系数的关系．