Question

已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），（2，5），（﹣1，﹣4）且与x轴交于A、B两点，其顶点为P．

（1）试确定此二次函数的解析式；

（2）根据函数的图象，指出函数的增减性，并直接写出函数值y＜0时自变量x的取值范围．

（3）求△ABP的面积．

Answer

（1）y=x2+2x﹣3；（2）﹣3＜x＜1；（3）8.

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数的图象经过点（0，﹣3），（2，5），（﹣1，﹣4），可以求得此二次函数的解析式；（2）首先根据第（1）问中求得的函数解析式可化为顶点式，从而可以得到顶点P的坐标，再令y=0代入求得的函数解析式可以求得点A和点B的坐标，从而可以得到函数值y＜0时自变量x的取值范围，由顶点P的坐标和函数图象可以得到函数的增减性；（3）由（2）可知点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），顶点P的坐标为（﹣1，﹣4），所以AB的长可求出，△ABP边AB的高即为点P的纵坐标的绝对值，利用三角形面积公式计算即可．

试题解析：（1）设此二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，

∵二次函数的图象经过点（0，﹣3），（2，5），（﹣1，﹣4），

∴ ，

解得a=1，b=2，c=﹣3，

∴此二次函数的解析式是：y=x2+2x﹣3；

（2）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，点P为此二次函数的顶点坐标，

∴点P的坐标为（﹣1，﹣4），

当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；

当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，

将y=0代入y=x2+2x﹣3得，x1=﹣3，x2=1，

∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）

∴函数值y＜0时自变量x的取值范围是：﹣3＜x＜1；

（3）∵点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），顶点P的坐标为（﹣1，﹣4），

∴△DEF的面积= ×4×4=8．

考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．