Question

如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，CD⊥AB于点D，动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，过点P作PQ∥BC交折线AD﹣DC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQR，设四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积为S（cm²），点P运动的时间为t（s）．

（1）当点Q在线段AD上时，用含t的代数式表示QR的长；

（2）求点R运动的路程长；

（3）当点Q在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式；

（4）直接写出以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值．

Answer

（1）证明见解析（2）2+2（3）①S=S菱形APRQ2t2；②S=﹣t2+6t﹣2（4）t=或t=

【解析】

试题分析：（1）易证△APQ是等边三角形，即可得到QR=PQ=AP=2t；

（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图②，易得点R运动的路程长是AG+CG，只需求出AG、CG就可解决问题；

（3）四边形APRQ与△ACD重叠部分图形可能是菱形，也可能是五边形，故需分情况讨论，然后运用割补法就可解决问题；

（4）由于直角顶点不确定，故需分情况讨论，只需分∠QRB=90°和∠RQB=90°两种情况讨论，即可解决问题．

试题解析：（1）如图①，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=∠B=60°．

∵PQ∥BC，

∴∠APQ=∠ACB=60°，∠AQP=∠B=60°，

∴△APQ是等边三角形．

∴PQ=AP=2t．

∵△PQR是等边三角形，

∴QR=PQ=2t；

（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图②，

则点R运动的路程长是AG+CG．

在Rt△AGC中，∠AGC=90°，sin60°=，cos60°=，AC=4，

∴AG=2，CG=2．

∴点R运动的路程长2+2；

（3）①当0＜t≤时，如图③，

S=S菱形APRQ=2×S正△APQ=2××（2t）2=2t2；

②当＜t≤1时，如图④

PE=PC•sin∠PCE=（4﹣2t）×=2﹣t，

∴ER=PR﹣PE=2t﹣（2﹣t）=3t﹣2，

∴EF=ER•tanR=（3t﹣2）

∴S=S菱形APRQ﹣S△REF

=2t2﹣（3t﹣2）2=﹣t2+6t﹣2；

（4）t=或t=

提示：①当∠QRB=90°时，如图⑤，

cos∠RQB=，

∴QB=2QR=2QA，

∴AB=3QA=6t=4，

∴t=；

②当∠RQB=90°时，如图⑥，

同理可得BC=3RC=3PC=3（4﹣2t）=4，

∴t=．

考点：等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、等边三角形的面积公式（等边三角形的面积等于边长平方的倍）