Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；

（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B₁，顶点为D₁，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB₁的面积是△NDD₁面积的2倍，求点N的坐标．

Answer

(1)、y=x2﹣3x+2；(2)、y=x2﹣3x+1；(3)、（1，﹣1）或（3，1）

【解析】

试题分析：(1)、利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；(2)、根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2﹣3x+2得y=2，可知抛物线y=x2﹣3x+2过点（3，2）∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．∴平移后的抛物线解析式为：y=x2﹣3x+1；(3)、首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．

试题解析：(1)、已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2），

∴， 解得， ∴所求抛物线的解析式为y=x2﹣3x+2；

(2)、∵A（1，0），B（0，2）， ∴OA=1，OB=2， 可得旋转后C点的坐标为（3，1），

当x=3时，由y=x2﹣3x+2得y=2， 可知抛物线y=x2﹣3x+2过点（3，2），

∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C． ∴平移后的抛物线解析式为：y=x2﹣3x+1；

(3)、∵点N在y=x2﹣3x+1上，可设N点坐标为（x0，x02﹣3x0+1），

将y=x2﹣3x+1配方得y=（x﹣）2﹣，

∴其对称轴为直线x=． ①0≤x0≤时，如图①， ∵，

∴ ∵x0=1， 此时x02﹣3x0+1=﹣1，∴N点的坐标为（1，﹣1）．

②当时，如图②， 同理可得， ∴x0=3， 此时x02﹣3x0+1=1，

∴点N的坐标为（3，1）． ③当x＜0时，由图可知，N点不存在， ∴舍去．

综上，点N的坐标为（1，﹣1）或（3，1）．

考点：二次函数综合题．