Question

在△ABC中，∠AOB=90°，AO=BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D

（1）当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD=AC+BD；

（2）当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD=AC﹣BD；

（3）当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

Answer

(1)、证明过程见解析；(2)、证明过程见解析；(3)、CD=BD﹣AC；证明过程见解析.

【解析】

试题分析：(1)、根据是矩形AOB内角和得出∠AOC+∠BOD=90°，根据垂直得出∠AOC+∠OAC=90°，从而说明∠OAC=∠BOD，然后得出△ACO和△ODB全等，根据全等的性质得出OC=BD，AC=OD，然后根据图形得出答案；(2)、根据同样的方法证明△ACO和△ODB全等，从而得出OC=BD，AC=OD，然后根据图形得出答案；(3)、根据同样的方法证明△ACO和△ODB全等，从而得出OC=BD，AC=OD，然后根据图形得出答案.

试题解析：(1)、如图1，∵△AOB中，∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°，

直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D， ∴∠ACO=∠BDO=90° ∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，， ∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD， ∴CD=AC+BD；

(2)、如图2，∵△AOB中，∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°，

直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D， ∴∠ACO=∠BDO=90° ∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，， ∴△ACO≌△ODB（AAS）， ∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=OD﹣OC=AC﹣BD，即CD=AC﹣BD．

(3)、如图3，∵△AOB中，∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°，

直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D， ∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°， ∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中 ， ∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD， ∴CD=OC﹣OD=BD﹣AC， 即CD=BD﹣AC．

考点：三角形全等的证明与性质