Question

在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）请直接写出点A，C，D的坐标；

（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；

（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A（﹣3，0），C（0，3），D（﹣1，4）；（2）E（，0）；（3）P（2，﹣5）或（1，0）．

【解析】

试题分析：（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标；

（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，由点C的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出点E的坐标；

（3）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F（m，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点P的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点P坐标中即可得出结论．

试题解析：（1）当中y=0时，有，解得：=﹣3，=1，∵A在B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0）．

当中x=0时，则y=3，∴C（0，3）．

∵=，∴顶点D（﹣1，4）．

（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示．

∵C（0，3），∴C′（0，﹣3）．

设直线C′D的解析式为y=kx+b，则有：，解得：，∴直线C′D的解析式为y=﹣7x﹣3，当y=﹣7x﹣3中y=0时，x=，∴当△CDE的周长最小，点E的坐标为（，0）．

（3）设直线AC的解析式为y=ax+c，则有：，解得：，∴直线AC的解析式为y=x+3．

假设存在，设点F（m，m+3），△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：

①当∠PAF=90°时，P（m，﹣m﹣3），∵点P在抛物线上，∴，解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为（2，﹣5）；

②当∠AFP=90°时，P（2m+3，0）

∵点P在抛物线上，∴，解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，此时点P的坐标为（1，0）；

③当∠APF=90°时，P（m，0），∵点P在抛物线上，∴，解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，此时点P的坐标为（1，0）．

综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．

考点：二次函数综合题；最值问题；存在型；分类讨论；综合题．