Question

如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径作⊙O，交AC于D．E为的中点，连接CE，BE，BE交AC于F．

   （1）求证：AB＝AF；

（2）若AB＝3，BC＝4，求CE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）先证明∠EBC＝∠ECF， 再证明∠ABF＝∠AFB，即可得AB＝AF；

（2）先应用勾股定理求出AC的长，用AC－AF求出CF的长，再应用△EFC∽△ECB可求出CE的长．

试题解析：解：（1）证明：∵BC直径为⊙O的直径，∴∠BEC＝90°，∴∠ECF＋∠EFC＝90°．

∵∠ABC＝90°，∴∠ABF＋∠EBC＝90°．又∵E为的中点，∴∠EBC＝∠ECF，∴∠EFC＝∠ABF．又∵∠AFB＝∠EFC，∴∠AFB＝∠ABF，∴AB＝AF；

（2）∵∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝5．又∵AB＝AF＝3，∴CF＝AC－AF＝5－3＝2．∵∠EBC＝∠ECF，∠E＝∠E，∴△EFC∽△ECB．∴.∴BE＝2CE．∵∠BEC＝90°，∴，∴，∴CE＝.

考点：圆周角定理；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．