Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回，点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB﹣BC﹣CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t=2时，AP=      ，点Q到AC的距离是      ；

（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；

（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．

Answer

(1)1，；(2)S=﹣t2+t；(3)能．t=或；(4)t=或t=．

【解析】

试题分析：（1）先求PC，再求AP，然后求AQ，再由三角形相似求Q到AC的距离；（2）过点Q作QF⊥AC于点F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S与t的函数解析式；（3）当DE∥QB时，得四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由线段的对应比例关系求得t，由PQ∥BC，四边形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由线段的对应比例关系求t；（4）①第一种情况点P由C向A运动，DE经过点C、连接QC，作QG⊥BC于点G，由PC2=QC2解得t；②第二种情况，点P由A向C运动，DE经过点C，由图列出相互关系，求解t．

试题解析：（1）如图1，过点Q作QF⊥AC于点F，

∵AC=3，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，

∴当t=2时，AP=3﹣2=1；在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．∴BC=4，∵QF⊥AC，BC⊥AC，∴QF∥BC，∴△ACB∽△AFQ，∴，∴=，解得：QF=；故答案为：1，；（2）如图1，过点Q作QF⊥AC于点F，如图1，AQ=CP=t，∴AP=3﹣t．由△AQF∽△ABC，得=．∴QF=t．∴S=（3﹣t）•t，即S=﹣t2+t；（3）能成为直角梯形．①当由△APQ∽△ABC，DE∥QB时，如图2．

∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，此时∠AQP=90°．由△APQ∽△ABC，得，即．解得t=；②如图3，

当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．此时∠APQ=90°．由△AQP∽△ABC，得，即．解得t=，综上所述：在点E从B向C运动的过程中，当t=或时，四边形QBED能成为直角梯形；（4）①点P由C向A运动，DE经过点C．连接QC，作QG⊥BC于点G，如图4．

∵sinB===，∴QG=（5﹣t），同理BG=（5﹣t），∴CG=4﹣（5﹣t），∴PC=t，QC2=QG2+CG2=[（5﹣t）]2+[4﹣（5﹣t）]2．∵CD是PQ的中垂线，∴PC=QC，则PC2=QC2，得t2=[（5﹣t）]2+[4﹣（5﹣t）]2，解得t=；②点P由A向C运动，DE经过点C，如图5．

可知PC=6﹣t，QC2=QG2+CG2，由PC2=QC2可知：（6﹣t）2=[（5﹣t）]2+[4﹣（5﹣t）]2，即t=．综上所述：t=或t=．

考点：1.四边形综合题；2.三角形相似的判定与性质；3.动点问题.