Question

如图，已知抛物线P：y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：

x	…	﹣3	﹣2	1	2	…
y	…		﹣4		0	…

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；

（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k•DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围．

Answer

(1)A（2，0），B（﹣4，0），C（0，﹣4）；(2)SDEFG=12m﹣6m2（0＜m＜2）；(3)k≠且k＞0．

【解析】

试题分析：（1）根据图表可以得到，抛物线经过的四点的坐标，根据待定系数法，设y=ax2+bx+c,把其中三点的坐标代入，就可以求得函数解析式．进而可以求出A、B、C的坐标；（2）表示出矩形的长和宽是解决问题的关键，先证△ADG∽△AOC，AD=2﹣m，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以用m表示出DG的长，再根据△BEF∽△BOC，就可以表示出BE，进而得到OE，于是ED就可以表示出来．因而S与m的函数关系就可以得到；（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，就是函数的值是最大值时，根据二次函数的性质就可以求出相应的m的值．则矩形的四个顶点的坐标就可以求出，根据待定系数法就可以求出直线DF的解析式．可以求出直线DF与抛物线的交点的坐标，根据FM=k•DF，就可以表示出M的坐标，把M的坐标代入函数就可以得到一个关于k的方程，求出k的值，判断是否满足函数的解析式即可．

试题解析：（1）根据待定系数法，设y=ax2+bx+c（a≠0），任取x，y的三组值代入，求出解析式为y=x2+x﹣4，令y=0，求出x1=﹣4，x2=2；令x=0，得y=﹣4，∴A、B、C三点的坐标分别是A（2，0），B（﹣4，0），C（0，﹣4）．（2）由题意，△ADG∽△AOC，所以，而AO=2，OC=4，AD=2﹣m，故DG=4﹣2m，又△BEF∽△BOC，所以，EF=DG，得BE=4﹣2m，∴DE=3m，∴SDEFG=DG•DE=（4﹣2m）3m=12m﹣6m2（0＜m＜2），故S=12m﹣6m2（0＜m＜2）；（3）如下图，连接DF并延长，∵SDEFG=12m﹣6m2（0＜m＜2），∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．当矩形面积最大时，其顶点为D（1，0），G（1，﹣2），F（﹣2，﹣2），E（﹣2，0），设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=，b=﹣，∴y=x﹣，又可求得抛物线P的解析式为：y=x2+x﹣4，令x﹣=x2+x﹣4，可求出x=．设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有==，点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是k≠且k＞0．

考点：二次函数综合题．