Question

如图1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．

（1）求点B的坐标；

（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

Answer

（1）（4，4）（2）证明见解析（3）1

【解析】

试题分析：（1）由在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，根据三角函数的知识，即可求得AB与OA的长，即可求得点B的坐标；

（2）首先可得CE∥AB，D是OB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得BD=AD，∠ADB=60°，又由△OBC是等边三角形，可得∠ADB=∠OBC，根据内错角相等，两直线平行，可证得BC∥AE，继而可得四边形ABCD是平行四边形；

（3）首先设OG的长为x，由折叠的性质可得：AG=CG=8﹣x，然后根据勾股定理可得方程（8﹣x）2=x2+（4）2，解此方程即可求得OG的长．

试题解析：（1）在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，

∴OA=OBcos30°=8×=4，

AB=OBsin30°=8×=4，

∴点B的坐标为（4，4）；

（2）∵∠OAB=90°，

∴AB⊥x轴，

∵y轴⊥x轴，

∴AB∥y轴，即AB∥CE，

∵∠AOB=30°，

∴∠OBA=60°，

∵DB=DO=4

∴DB=AB=4

∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°，

∴∠ADB=60°，

∵△OBC是等边三角形，

∴∠OBC=60°，

∴∠ADB=∠OBC，

即AD∥BC，

∴四边形ABCE是平行四边形；

（3）设OG的长为x，

∵OC=OB=8，

∴CG=8﹣x，

由折叠的性质可得：AG=CG=8﹣x，

在Rt△AOG中，AG2=OG2+OA2，

即（8﹣x）2=x2+（4）2，

解得：x=1，

即OG=1．

考点：1、折叠的性质，2、三角函数的性质，3、平行四边形的判定，4、等边三角形的性质，5、勾股定理