Question

如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于F．

（1）如图1，若∠E=80°，求∠BFD的度数．

（2）如图2：若∠ABM=∠ABF，∠CDM=∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系并证明你的结论．

（3）若∠ABM＝∠ABF, ∠CDM＝∠CDF, 设∠E＝m°,直接用含有n、m°的代数式写出∠M＝                  (不写过程)

Answer

（1）140°；（2）6∠M+∠E=360°．（3）

【解析】试题分析：（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=280°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=140°，从而得到∠BFD的度数；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°﹣∠E，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换，即可；

（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠E=360°，将∠E=m°代入可得．

【解析】
（1）作EG∥AB，FH∥AB，

∵AB∥CD，

∴EG∥AB∥FH∥CD，

∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°，

∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°

∵∠BED=∠BEG+∠DEG=80°，

∴∠ABE+∠CDE=280°，

∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E，

∴∠ABF+∠CDF=140°，

∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°；

（2）∵∠ABM=∠ABF，∠CDM=∠CDF，

∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，

∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，

∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，

∴6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°，

∵∠M=∠ABM+∠CDM，

∴6∠M+∠E=360°．

（3）由（2）结论可得，

2n∠ABN+2n∠CDM+∠E=360°，∠M=∠ABM+∠CDM，

解得：．

故答案为：