Question

如图，,⊙是Rt△的内切圆，分别切于点,连接.的延长线交于点，.

（1）求证：四边形为正方形；

（2）求⊙的半径；

（3）求的长.

Answer

（1）答案见解析；（2）r=1.5；（3）AB=7.5

【解析】

试题分析：（1）根据内接圆得出矩形，然后根据OE=OF得出正方形；（2）根据正方形得出△OED∽△ACD，从而得出半径；（3）根据内切圆得出DE=0.5，设BD=c，则DE=x+0.5，根据AG=AF=4.5则AB=5+x，根据勾股定理求出AB的长度.

试题解析：（1）因为⊙O是Rt△ABC的内接圆，分别切BC，AC，AB 于点E，F，G

∴∠CFO=∠OEC=90°

∵∠C=90°.∴则四边形OECF为 矩形，

又∵OE=OF=r ∴四边形OECF为 正方形

（2）由四边形OECF为 正方形

∴OE//AC ,CE=CF=r

∴△OED∽△ACD

∴

∴

解得:r=

（3）⊙是Rt△的内切圆,由（2）得DE=,设BD=x,则BE=BG=x+

∵AG=AF=，∴AB=5+x ，

由 得

解得:x=

∴AB =

考点：（1）圆的基本性质；（2）勾股定理；（3）三角形相似；（4）正方形的判定.