Question

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）如果点E是AB的中点，AC=4，EC=2.5，求四边形ABCD的面积．

Answer

（1）证明过程见解析；（2）9

【解析】

试题分析：（1）根据∵AB∥CD，CE∥AD得出平行四边形，根据角平分线的性质和平行线的性质得出∠DAC=∠ACD，从而说明AD=CD，得出菱形；（2）根据菱形的性质得出∠EAC=∠ACE，根据点E为中点得出∠B=∠ECB，从而得出∠ACB=90°，根据点E为中点得出EC=2.5，AB=5，BC=3，从而得出△ABC的面积，根据菱形的性质得出四边形的面积.

试题解析：（1）∵AB∥CD，CE∥AD，

∴四边形AECD是平行四边形，

∵AC平分∠BAD，

∴，

∵AB∥CD，

∴，

∴，

∴AD=CD，

∴四边形AECD是菱形.

（2）∵四边形AECD是菱形，

∴AE=CE，

∴，

∵点E是AB的中点，

∴AE=BE，

∴，

∴，即

∵点E是AB的中点，EC=2.5，

∴AB=2EC=5，

∴BC=3.

∴S△ABC=.

∵点E是AB的中点，四边形AECD是菱形，

∴S△AEC=S△EBC=S△ACD=3.

∴四边形ABCD的面积=S△AEC+S△EBC+S△ACD=9.

考点：（1）菱形的判定；（2）菱形的性质