Question

如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在边AB上，∠DEC＝90⁰，且DE＝EC．

（1）求证：△ADE≌△BEC；

（2）若AD＝a，AE＝b，DE＝c，请用图1证明勾股定理：a²＋b²＝c²；

（3）线段AB上另有一点F（不与点E重合），且DF⊥CF（如图2），若AD＝2，BC＝4，求EF的长.

Answer

（1）、证明过程见解析；（2）、证明过程见解析；（3）、2.

【解析】

试题分析：（1）、根据∠DEC＝90°得出∠AED＋∠CEB＝90°，结合∠ADE＋∠AED＝90°得出∠ADE＝∠CEB，从而说明三角形全等；（2）、根据图形得出△ADE，△DEC，△BEC都是直角三角形，然后根据全等得出BE＝a，BC＝b，然后根据面积相等的法则得出答案；（3）、根据题意得出△AFD和△BCF相似，设AF=x，则BF=6-x，从而求出x的值，然后得出EF的长度.

试题解析：（1）如图1，∵∠DEC＝90°，∴∠AED＋∠CEB＝90°，∵∠ADE＋∠AED＝90°，

∴∠ADE＝∠CEB，

在△ADE和△BEC中，，∴△ADE≌△BEC（AAS）；

（2）、如图1，∵AB⊥BC，∠DEC＝90°，∴△ADE，△DEC，△BEC都是直角三角形，

∵AD＝a，AE＝b，DE＝c，且DE＝EC，△ADE≌△BEC，∴BE＝a，BC＝b，

∴（a＋b）（a＋b）＝ab＋c2＋ab，

整理得：a2＋b2＝c2；

（3）、如图2，由（1）得：△ADE≌△BEC（AAS），则AD＝BE＝2，BC＝AE＝4，

∵DF⊥CF， ∴∠AFD＋∠BFC＝90°，∵∠BFC＋∠BCF＝90°，∴∠AFD＝∠BCF，又∵∠A＝∠B，

∴△AFD∽△BCF，∴，设AF＝x，则BF＝6﹣x，故，

解得：x1＝2，x2＝4， ∵点F不与点E重合， ∴x＝2，∴EF＝6﹣2﹣2＝2．

考点：（1）、三角形全等的判定；（2）、三角形全等的性质；（3）、三角形相似的应用