Question

若抛物线y=ax²+bx+c上有两点A，B关于原点对称，则称它为“完美抛物线”．

（1）请猜猜看：抛物线y=x²+x-1是否是“完美抛物线”？若猜是，请写出A，B坐标，若不是，请说明理由；

（2）若抛物线y=ax²+bx+c是“完美抛物线”与y轴交于点C，与x轴交于（-，0），若S_△ABC=，求直线AB解析式．

Answer

（1）是，A（1，1）、B（-1，-1）或A（-1，-1）、B（1，1）．（2）y=（-1）x．

【解析】

试题分析：（1）首先设A点的坐标是（m，n），根据A，B关于原点对称，判断出B点的坐标是（-m，-n）；然后根据A，B都是抛物线y=x2+x-1上的点，求出m、n的值各是多少，判断出抛物线y=x2+x-1是“完美抛物线”，并写出A，B坐标即可．

（2）首先根据抛物线y=ax2+bx+c上有两点A，B关于原点对称，可得直线AB经过原点，设直线AB解析式是：y=kx；设点A的坐标是（p，q），则B点的坐标是（-p，-q）；然后根据A、B都是抛物线y=x2+x-1上的点，抛物线与x轴交于（-，0），可得2b-ac=4；最后根据S△ABC=，求出b的值是多少，进而判断出直线AB的斜率是多少，求出直线AB解析式即可．

试题解析：（1）设A点的坐标是（m，n），

∵A，B关于原点对称，

∴B点的坐标是（-m，-n），

∵A，B都是抛物线y=x2+x-1上的点，

∴，

解得m=1或m=-1，

①当m=1时，

n=12+1-1=1，

②当m=-1时，

n=（-1）2-1-1=-1，

∴抛物线y=x2+x-1是“完美抛物线”，

A（1，1）、B（-1，-1）或A（-1，-1）、B（1，1）．

（2）∵抛物线y=ax2+bx+c上有两点A，B关于原点对称，

∴直线AB经过原点，

∴设直线AB解析式是：y=kx，

设点A的坐标是（p，q），

则B点的坐标是（-p，-q），

∴，

∴ap2+c=0，

∴bp=q，

∴，

∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（-，0），

∴，

∴2b-ac=4，

∵点C的坐标是（0，c），

∴|cp×2|=，

∴，

∴p2=，

又∵，

∴，

∴b2=-ac，

又∵2b-ac=4，

∴b2+2b-4=0，

∴b=-1±，

∵S△ABC=＞0，

∴b＞0，

∴b=-1，

又∵bp=q，

∴，

即直线AB的斜率是：k=-1，

∴直线AB解析式是：y=（-1）x．

考点：1.二次函数图象上点的坐标特征；2.待定系数法求一次函数解析式．