Question

已知双曲线y=和直线y=-2x，点C（a，b）（ab＜2）在第一象限，过点C作x轴的垂线交双曲线于F，交直线于B，过点C作y轴的垂线交双曲线于E，交直线于A．

（1）若b=1，则结论“A、E不能关于直线FB对称”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例．

（2）若∠CAB=∠CFE，设w=AC•EC，当1≤a＜2时，求w的取值范围．

Answer

（1）结论“A、E不能关于直线FB对称”不正确；（2）0＜w≤．

【解析】

试题分析：（1）要说明一个结论错误，只需举一个反例即可，事实上，当a=时，可证到A、E关于直线FB对称；

（2）根据点C的坐标可得到点A、E、B、F的坐标（用a和b的代数式表示），由ab＜2可证到点F在点C的上方，结合图象用a和b的代数式分别表示出CA、CE、CB、CF的长，然后由∠CAB=∠CFE证到△ACB∽△FCE，运用相似三角形的性质可得到CA•CE=CB•CF，由此结合因式分解可得到a与b的等量关系，从而得到w与a的函数关系，然后只需运用函数的增减性就可解决问题．

试题解析：（1）结论“A、E不能关于直线FB对称”不正确．

反例：当a=时，

由b=1可得yA=yE=1．

∵点A在直线y=-2x上，点E在双曲线y=上，

∴xA=-，xE=2，

∴AC=-（-）=，CE=2-=，

∴AC=CE．

∵AE⊥BF，

∴A、E关于直线FB对称，

∴结论“A、E不能关于直线FB对称”不正确；

（2）由题可得：yA=yE=yC=b，xB=xF=xC=a．

∵点A、B在直线y=-2x上，点E、F在双曲线y=上，

∴xA=-，yB=-2a，xE=，yF=．

∵ab＜2，

∴b＜，

∴yC＜yF，

∴点F在点C的上方（如图所示），

∴AC=a-（-）=a+=，

CE=-a=，

CF=-b=，

CB=b-（-2a）=b+2a，

∴w=AC•EC=．

∵∠CAB=∠CFE，∠ACB=∠FCE=90°，

∴△ACB∽△FCE，

∴，即CA•CE=CB•CF，

∴=，

∴a（2a+b）（2-ab）=2b（2a+b）（2-ab），

∴a（2a+b）（2-ab）-2b（2a+b）（2-ab）=0，

∴（a-2b）（2a+b）（2-ab）=0．

∵a＞0，b＞0，

∴2a+b＞0．

又∵ab＜2，

∴2-ab＞0，

∴a-2b=0，

∴w==-a2+5．

∵-＜0，

∴当a＞0时，w随a的增大而减小．

∵1≤a＜2，

∴-×22+5＜w≤-×12+5，即0＜w≤，

∴w的取值范围为0＜w≤．

考点：反比例函数综合题