Question

正方形ABCD中，E点为BC中点，连接AE，过B点作BF⊥AE，交CD于F点，交AE于G点，

连接GD，过A点作AH⊥GD交GD于H点．

（1）求证：△ABE≌△BCF；

（2）若正方形边长为4，AH=，求△AGD的面积．

Answer

（1）、答案见解析；（2）、

【解析】

试题分析：（1）、根据正方形的性质得出∠1+∠2=90°，根据AE⊥BF得出∠3+∠2=90°，从而说明∠1=∠3，根据正方形得出∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，从而得出三角形全等；（2）、延长BF交AD延长线于M点，根据全等得出CF=BE，根据中点的性质得出CF=CD=FD，从而得出△BCF和△MDF全等，根据正方形的性质得出GD和AH的长度，从而得出面积.

试题解析：（1）、正方形ABCD中，∠ABE=90°，

∴∠1+∠2=90°，

又AE⊥BF，

∴∠3+∠2=90°，

则∠1=∠3

又∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC

在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（ASA）

（2）、延长BF交AD延长线于M点， ∴∠MDF=90°

由（1）知△ABE≌△BCF， ∴CF=BE

∵E点是BC中点， ∴BE=BC，即CF=CD=FD，

在△BCF和△MDF中，

∴△BCF≌△MDF（ASA）

∴BC=DM，即DM=AD，D是AM中点

又AG⊥GM，即△AGM为直角三角形，

∴GD=AM=AD

又∵正方形边长为4，

∴GD=4

S△AGD=GD•AH=×4×=．

考点：（1）、正方形的性质；（2）、三角形全等的判定与性质.