Question

如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→C→D方向，向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度、沿A→B方向，向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为t秒．
（1）连接PD、PQ、DQ，设△PQD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；
（2）当点P在BC上运动时，是否存在这样的t，使得△PQD是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；
（3）以点P为圆心，作⊙P，使得⊙P与对角线BD相切．问：当点P在CD上运动时，是否存在这样的t，使得⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）可根据三角形PQD的面积=梯形ABPD的面积-三角形AQD的面积-三角形BPQ的面积来求解，根据P，Q的速度，可以表示出AQ、BQ、BP，那么就能表示出两直角三角形的直角边以及梯形的两底和高，可根据各自的面积计算公式得出S、t之间的函数关系式．
（2）要分三种情况进行讨论：
当PD=QD时，根据斜边直角边定理，我们可得出三角形AQD和CPD全等，那么可得出CP=AQ，可用时间t分别表示出AQ、CP的长，然后可根据两者的等量关系求出t的值．
当PD=PQ时，可在直角三角形BPQ和PDC中，根据勾股定理，用BQ、BP表示出PQ，用CP、CD表示出PD；BQ、BP、PC都可以用t来表示，由此可得出关于t的方程，解方程即可得出t的值．
当QD=PQ时，方法同上．
（3）应当考虑两种情况：
①圆心P经过BC的中点，如果设圆与BD相切于M，BC的中点是E，那么PM=PE，可用时间t表示出CP的长，也就能表示出DP的长，那么可以根据勾股定理在直角三角形CEP中表示出PE2的长，也就表示出了PM2的长，然后根据∠MDP的正弦值表示出DP，PM的关系，由此可得出关于t的方程，进而求出t的值．
②圆心P经过CD的中点，如过CD的中点是E，那么PM=PE，在直角三角形DMP中，DP=2-半径的长，PM=半径的长，因此可根据∠MDP的正弦函数求出半径的长，然后用t表示出CP，即可求出t的值．
【解析】
（1）当0≤t≤2时，即点P在BC上时，
S=S正方形ABCD-S△ADQ-S△BPQ-S△PCD=16-•4•t-•2t•（4-t）-•（4-2t）•4=t2-2t+8，
当2＜t≤4时，即点P在CD上时，DP=8-2t，
S=•（8-2t）•4=16-4t．

（2）①若PD=QD，则Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL）．
∴CP=AQ．即t=4-2t，解得t=．
②若PD=PQ，则PD2=PQ2，即42+（4-2t）2=（4-t）2+（2t）2．
解得t=-4±4，其中t=-4-4＜0不合题意，舍去，∴t=-4+4．
③若QD=PQ，则QD2=PQ2，即16+t2=（4-t）2+（2t）2，解得t=0或t=2，
∴t=或t=-4+4或t=0或t=2时，△PQD是等腰三角形．

（3）当P在CD上运动时，若⊙P经过BC的中点E，设⊙P切BD于M．
则CP=2t-4，PM2=PE2=（2t-4）2+22．
而在Rt△PMD中，由于∠PDM=45°，所以DP=PM，即DP2=2PM2．
∴（8-2t）2=2[（2t-4）2+22]．
解得t=±，负值舍去，
∴t=，
若⊙P经过CD的中点，⊙P的半径r=2（-1），
故t=2+，
故当点P在CD上运动时，若t=或2+，则⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点．