Question

在平面直角坐标系里，如图，已知直线：交y轴于点A，交x轴于点B，三角板OCD如图1置，其中∠D=30°，∠OCD=90°，OD=7，把三角板OCD绕点．顺时针旋转15°，得到△OC₁D₁（如图2），这时OC₁交AB于点E，C₁D₁交AB于点F．
（1）求∠EFC₁的度数；
（2）求线段AD₁的长；
（3）若把△OC₁D₁，绕点0顺时针再旋转30．得到△OC₂D₂，这时点B在△OC₂D₂的内部、外部、还是边上？证明你的判断．

Answer

（1）由直线AB的解析式可知，∠OAB=45°，图（1）中，∠AOD=30°，由旋转15°可知，图（2）中∠AOE=45°，根据三角形的内角和定理可得∠AEO=90°，根据∠EFC1=∠D1+∠D1EF=∠D1+∠AEO，求解；
（2）由（1）可知，△AEO为等腰直角三角形，而AO=3，可求OE=AE=3，故D1E=0D1-OE=4，在Rt△AED1中，利用勾股定理求AD1；
（3）再旋转30°，则∠C2OG=45°，由OD2=OD=7，∠D2=30°，可求OC2=3.5；在△OC2G中，求OG并与OB进行比较即可．
【解析】
（1）∵AO=BO=3，
∴∠OAB=45°
∵∠AOE=45°，
∴∠AEO=∠AED1=∠D1EF=90°，∠ED1F=30°，∴∠EFC1=120°．

（2）∵∠AOE=∠OAE=45°，OA=3，
∴AE=OE=3，D1E=4，
∴在Rt△AED1中，AD1=5．

（3）点B在△OC2D2内部；

设D2C2交x轴于点G，
∵∠C2OG=45°，∠C2=90°，
∴∠C2GO=45°，
∴C2O=C2G=OD2=3.5，
∴OG=，
∵OB=3＜，
∴点B在△OC2D2内部．