Question

数学家们通过长期的研究，得到了关于“等周问题”的重要结论：在周长相同的所有封闭平面曲线中，以圆所围成的面积最大．
“等周问题”虽然较为繁杂，但其根本思想基于下面2个事实：
事实1：等周长n边形的面积，当图形为正n边形时，其面积最大；
事实2：等周长n边形的面积，当边数n越大时，其面积也越大．
为了理解这些事实的合理性，曙光数学小组走出校门展开了下列课题研究．请你帮助他们解决其中的一些问题．
现有长度为100m的篱笆（可弯曲围成一个区域）．
（1）如果用篱笆围成一个长方形鸡场，怎样围才能使鸡场的面积最大？为什么？
（2）如果用篱笆围成一个正五边形鸡场，那么与（1）中的正方形鸡场比较，哪个面积更大？请在事实1的基础上证明事实2：“等周长n边形的面积，当边数n越大时，其面积也越大．”
（3）利用事实1和事实2，请对“等周问题”的重要结论作出较为合理的解释．
（4）爱动脑筋的小明提出一个问题：如果借用一条充分长的直墙，将篱笆围成一个四边形鸡场，为了使鸡场的面积尽量大，所围成的长方形鸡场的长是宽的2倍（如图）．你觉得他讲的是否有道理？你有没有更好的方法，使围成的四边形鸡场的面积更大？如果有，请说明你的方法．

Answer

（1）设一边的长为x，用它表示另一边及面积，运用函数性质求解；
（2）、（3）可运用割圆术的思路，在某一个多边形的基础上把一边分成两边，细化下去便是圆；
（4）由（1）知小明讲的有道理．
【解析】
（1）设长为xm，宽为（50-x）m，则S=x•（50-x）=-（x-25）2+625，所以当每条边长为25m时，才能使长方形鸡场的面积最大；

（2）正五边形鸡场面积更大；
对于事实2，我们给出下述证明：

如图1、2，设正n边形A1A2An与正（n+1）边形A1A2An+1的周长相等，下面我们证明＜．在边A1A2上任取一点（异于点A1、A2），这样我们可以把A1A2An看成是（n+1）边形A1CA2An，但它显然不是正（n+1）边形，它的周长与正（n+1）边形A1A2An+1的周长相等，根据事实1，＜，即＜．
所以，等周长n边形的面积，当边数n越大时，其面积也越大；

（3）在周长相同的情况下，曲线围成正多边形面积较大；
正多边形的边数越大，图形越接近于圆，面积也越大，当边数无限增大时，正多边形无限地接近于圆，面积越来越接近于一个固定的值，这个值就是所围成的圆的面积；

（4）他讲的有道理．
设宽为xm，长为（100-2x）m，
则S=x•（100-2x）=-2（x-25）2+1250，
所以当长为宽的2倍时，才能使长方形鸡场的面积最大．
有更好的方法：

如图4，如果将图1中的点A、D分别向外移动．
那么ABCD仍然是四边形，而将四边形沿墙反射过来，这样就得到一个新的封闭六边形BCDC′B′A，它的周长等于原篱笆长度的两倍．
所以当六边形BCDC′B′A为正六边形，即AB=BC=CD，且∠BAD=∠CDA=60°，∠ABC=∠DCB=120°时，六边形BCDC′B′A的面积最大．
因而其一半即四边形ABCD的面积也最大．由于周长相等，
因此图4中正六边形BCDC′B′A的面积大于图3中正方形BCC′B′的面积，
所以图4中四边形ABCD的面积大于图3中四边形ABCD的面积．