Question

如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）试判断直线AD与CD的位置关系，并说明理由；
（2）连接BC，若AD=2，AC=，求△ABC的面积．

Answer

（1）很显然是垂直关系，AC平分∠DAB，∠DAC=∠BAC；连接OC后，OA=OC，∠OAC=∠DAC，那么∠DAC=∠OCA，于是OC∥AD，很显然OC⊥CD，那么AD⊥CD；
（2）本题的关键是求BC的长，根据（1）中相等的角，我们不难得出三角形ADC和ABC相似；可先在直角三角形ACD中，求出DC的值，然后根据相似三角形得出的比例关系求出BC的长，从而求出ABC的面积．
【解析】
（1）连接OC，则OC⊥CD；
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠OAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD；
∵OC⊥CD，
∴AD⊥CD；

（2）连接BC，那么∠ACB=90°，
在直角三角形ADC中，AD=2，AC=，根据勾股定理可得：CD=1；
由（1）知：∠ADC=∠ACB=90°，∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴AD：AC=DC：BC，
∴BC=DC•AC÷AD=，
∴三角形ACB的面积=•BC•AC=．