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如图1所示,一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上,梯子与地面所成...

如图1所示,一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上,梯子与地面所成的角α为60度.
(1)求AO与BO的长;
(2)若梯子顶端A沿NO下滑,同时底端B沿OM向右滑行.
①如图2所示,设A点下滑到C点,B点向右滑行到D点,并且AC:BD=2:3,试计算梯子顶端NO下滑了多少米?
②如图3所示,当A点下滑到A′点,B点向右滑行到B′点时,梯子AB的中点P也随之运动到P′点,若∠POP′=15°,试求AA′的长.

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(1)直角三角形中已知斜边和一个角,那么两条直角边就容易求得了. (2)①可先设出AC,BD的长,然后表示出OC,OD的长,根据滑动前后梯子长不变的特点在直角三角形WMC中运用勾股定理求出未知数的值,然后求出AC,BD的长. ②可根据直角三角形斜边中线定理,和已知的∠ABO的度数,来求出∠B′A′O的度数,然后求出OA′的长,从而求出AA′的长. 【解析】 (1)BO=AB•cos60°=4×=2(m) AO=AB•sin60°=4×=2(m) 答:BO=2m;AO=2m. (2)①设AC=2x,BD=3x,在Rt△COD中,OC=2-2x,OD=2+3x,CD=4m. 根据勾股定理有OC2+OD2=CD2. ∴(2-2x)2+(2+3x)2=42. ∴13x2+(12-8)x=0. ∵x≠0, ∴13x+12-8=0, ∴x=m. ∴AC=2x=m. 答:梯子顶端A沿NO下滑了m. ②∵P点和P′点分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt△A′OB′的斜边A′B′的中点. ∴PA=PO,P′A′=P′O. ∴∠PAO=∠AOP,∠P′A′O=∠A′OP′. ∴∠P′A′O-∠PAO=∠A′OP′-∠AOP. ∴∠P′A′O-∠PAO=∠POP′=15°. 又∵∠PAO=30°. ∴∠P′A′O=45°. ∴A′O=A′B′•cos45°=4×=2(m). ∴AA′=AO-A′O=(2-2)m.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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