Question

如图，已知对称轴为x=-的抛物线y=ax²+bx+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=3，D是抛物线上一点，且DC⊥OC．
（1）求点D的坐标及抛物线y=ax²+bx+c的表达式；
（2）连接OD，直线y=x+m与OD交于点E，与y轴交于点F，若OE：DE=1：2，求m的值；
（3）若M是直线EF上一动点，在x轴上方是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线对称轴得到关于a、b的一个方程，再把点A点坐标代入抛物线解析式，然后解方程组求出a、b的值，即可得解；
（2）先求出抛物线y=-x2-x+6与y轴交点C的坐标为（0，6），将y=6代入，求出x的值，得到D点坐标及DC=3，再过点E作EG⊥y轴于点G，由EG∥DC，得到△OEG∽△ODC，根据相似三角形对应边成比例得出===，求出EG，OG的值，得出E点坐标，然后将E点坐标代入y=x+m，即可求出m的值；
（3）分两种情况进行讨论：①OF为菱形的边时，延长M1N1交x轴于点G1，则M1N1⊥x轴．设点M1的坐标为（a，a+），则点N1的坐标为（a，a），在Rt△OG1N1中，运用勾股定理得出OG12+G1N12=ON12，列出关于a的方程，解方程即可，同理求出点N2的坐标；②OF为菱形的对角线时，连接M3N3，交OF于点P，根据菱形的性质可知M3N3与OF互相垂直平分，则OP=OF=，将y=代入y=x+，求出x的值，进而得到点N3的坐标．
【解析】
（1）∵抛物线的对称轴为x=-，经过点A（3，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=-x2-x+6；

（2）∵y=-x2-x+6，
∴x=0时，y=6，即C点坐标为（0，6），
∴当y=6时，-x2-x+6=6，
解得x=0或-3，
∴D点坐标为（-3，6），DC=3．
如图，过点E作EG⊥y轴于点G，则EG∥DC，
∴△OEG∽△ODC，
∴===，
∴EG=DC=1，OG=OC=2，
∴E点坐标为（-1，2）．
将E点坐标代入y=x+m，
得2=-+m，
解得m=；

（3）若M是直线EF上一动点，在x轴上方存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形．
分两种情况：
①如图，OF为菱形的边时，如果OF=FM1=M1N1=N1O=，
延长M1N1交x轴于点G1，则M1N1⊥x轴．
∵点M1在直线y=x+上，
∴设点M1的坐标为（a，a+）（a＞0），则点N1的坐标为（a，a），
在Rt△OG1N1中，OG12+G1N12=ON12，
即：a2+（a）2=（）2，
整理得：a2=5，
∵a＞0，
∴a=，
∴点N1的坐标为（，）；
同理，求得点M2的坐标为（-2，）（a＞0），则点N2的坐标为（-2，4）；
②如图，OF为菱形的对角线时，连接M3N3，交OF于点P，则M3N3与OF互相垂直平分，
∴OP=OF=，
∴当y=时，x+=，
解得：x=-，
∴点M3的坐标为（-，），
∴点N3的坐标为（，）．
综上所述，x轴上方的点N有3个，分别为N1（，），N2（-2，4），N3（，）．