Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x²+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．
（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）i）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础．
若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x-5）与抛物线的交点，即为所求之M点；
②当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移2个单位后所得直线（y=x-3）与抛物线的交点，即为所求之M点．
ii）由（i）可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值．
如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．
【解析】
（1）由题意，得点B的坐标为（4，-1）．
∵抛物线过A（0，-1），B（4，-1）两点，
∴，解得：b=2，c=-1，
∴抛物线的函数表达式为：y=x2+2x-1．

（2）i）∵A（0，-1），C（4，3），
∴直线AC的解析式为：y=x-1．
设平移前抛物线的顶点为P，则由（1）可得P的坐标为（2，1），且P在直线AC上．
∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m-1），
则平移后抛物线的函数表达式为：y=（x-m）2+m-1．
解方程组：，
解得，
∴P（m，m-1），Q（m-2，m-3）．
过点P作PE∥x轴，过点Q作QE∥y轴，则
PE=m-（m-2）=2，QE=（m-1）-（m-3）=2．
∴PQ==AP．
若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长）．
由A（0，-1），B（4，-1），P（2，1）可知，
△ABP为等腰直角三角形，且BP⊥AC，BP=．
如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线y=x2+2x-1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1，
∵B（4，-1），∴-1=4+b1，解得b1=-5，
∴直线l1的解析式为：y=x-5．
解方程组，得：，
∴M1（4，-1），M2（-2，-7）．

②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为．
如答图1，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，-1）．
由A（0，-1），F（2，-1），P（2，1）可知：
△AFP为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为．
过点F作直线l2∥AC，交抛物线y=x2+2x-1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l2的解析式为：y=x+b2，
∵F（2，-1），∴-1=2+b2，解得b1=-3，
∴直线l2的解析式为：y=x-3．
解方程组，得：，
∴M3（1+，-2+），M4（1-，-2-）．
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M1（4，-1），M2（-2，-7），M3（1+，-2+），M4（1-，-2-）．

ii）存在最大值．理由如下：
由i）知PQ=为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值．

如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．
连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′P≥FB′==．
∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为．
∴的最大值为=．