Question

如图，矩形ABCD中，AC，BD是对角线，AB=3，BC=4，点E在CB的延长线上，且CE=AC，连接AE．
（1）求AE的长；
（2）用尺规作出AE的中点F，连接BF，DF；（保留作图痕迹）
（3）求证：BF⊥DF；
（4）△ABE与△DFB是否相似？若相似，直接写出△ABE与△DFB的面积比；若不相似，直接写出△ABE与△DFB的面积．

Answer

（1）由勾股定理求出AC=5，求出BE=5-4=1，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE即可；
（2）分别以A、E为圆心，以大于AE为半径画弧，交于一点，过该点和C作直线，交于AE的点就是F点；
（3）证△DAF≌△CBF，推出∠DFA=∠CFB，求出CF⊥AE，推出∠DFB=90°，根据垂直定义得出即可；
（4）求出BD=AC=5，BF=AF=EF=AE=，DF=，得出===，即可得出答案．
（1）【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠ABC=90°，
∵AB=3，BC=4，
∴由勾股定理得：AC=5，
∵AC=CE，BC=4，
∴BE=5-4=1，
在Rt△ABE中，AE==；

（2）【解析】
如图所示：

（3）证明：∵∠ABE=90°，F为AE中点，
∴BF=AF=EF，
∴∠FAB=∠FBA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠DAB=∠CBA=90°，
∴∠DAF=∠CBF，
∵在△DAF和△CBF中

∴△DAF≌△CBF（SAS），
∴∠DFA=∠CFB，
∵F为AE中点，AC=CE，
∴CF⊥AE，
∴∠CFA=90°=∠CFD+∠DFA，
∴∠CFD+∠CFB=90°，
∴∠DFB=90°，
∴BF⊥DF；

（4）【解析】
△ABE与△DFB相似，
理由是：∵BD=AC==5，BF=AF=EF=AE=，
∴DF==，
∵AB=3，BE=1，AE=，
∴===，
即：△ABE与△DFB相似，△ABE与△DFB的面积比是（）2=．