Question

如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设，测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道步行2000米到达C处，此时测得M小区位于北偏西60°方向．现要在主输气管道AC上选择一个支管道连接点N，使从N处到M小区铺设的管道最短．
（1）问：MN与AC满足什么位置关系时，从N到M小区铺设的管道最短？
（2）求∠AMC的度数和AN的长．

Answer

（1）过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短；
（2）根据方向角可以证得∠AMC=90°，根据三角函数即可求得MC，进而求得AN的长．
【解析】
（1）当MN⊥AC时，从N到M小区铺设的管道最短，

（2）∵∠MAC=60°-30°=30°，∠ACM=30°+30°=60°，
∴∠AMC=180°-30°-60°=90°，
在Rt△AMC中，∵∠AMC=90°，∠MAC=30°，AC=2000，
∴AM=AC•cos∠MAC=2000×=1000（米），
在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，cos30°=，
∴AN=AM⋅cos30°=1000×=1500（米）．
答：∠AMC等于90°，AN的长为1500米．