Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，，∠ABC的平分线BD交AC与点D，DE⊥DB交AB于点E．设⊙O是△BDE的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O交BC于点F，连接EF，求的值．

Answer

（1）求出∠ODB=∠OBD=∠DBC，推出OD∥BC，根据∠C=90°推出OD⊥AC，根据切线的判定推出即可；
（2）设⊙O的半径是r，求出BC=9，AC=12，根据相似三角形的判定推出△AOD∽△ABC，得出比例式=，求出r和BE，证△BEF∽△ABC，得出=，代入求出即可．
（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠DBC，
∴∠ODB=∠DBC，
∴OD∥BC，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ODA=90°，
即OD⊥AC，
∵OD是⊙O半径，
∴AC是⊙O的切线．

（2）【解析】
设⊙O的半径是r，
∵AB=15，tanA=，
∴BC=9，AC=12，
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴=，
解得：r=，BE=，
又∵EF∥AC，
∴△BEF∽△ABC，
∴===．