Question

如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．

（1）求证：ME=MF．
（2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明．
（3）如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBC，其他条件不变，则线段ME与线段MF的数量关系是______．

Answer

（1）过M作MH⊥AD于H，MG⊥AB与G，连接AM，由M为正方形的对称中心得到M为正方形对角线的交点，根据正方形的性质得到AM平分∠BAD，根据角平分线性质得到MH与MG相等，接下来证明△MHE和△MGF全等，还差一个条件，由正方形的内角为直角得到∠EMF=90°，又四边形AHMG三个内角为直角得到AHMG为矩形，则∠HMG=90°，进而得到∠EMF=∠HMG，在等式两边减去∠HMF，得到∠EMH=∠FMG，利用“AAS”证明△MHE和△MGF全等，得到ME=MF；
（2）由M为菱形的对称中心得到M为菱形对角线的交点，根据菱形的性质得到AM平分∠BAD，根据角平分线性质得到MH与MG相等，然后由已知的∠EMF=∠B，得到∠QMN=∠HMG，两边都减去∠HMF，得到∠EMH=∠FMG，利用“AAS”得到△MHE≌△MGF，进而得到ME=MF；
（3）过M作MH⊥AB于H，MG⊥AD与G，四边形AHMG三个内角为直角得到AHMG为矩形，从而得到MG等于AB的一半，MH等于BC的一半，由AB=mBC得到MG=mMH，且∠NMQ=∠HMG，两边减去∠HMF，得到∠EMH=∠FMG，又∠MHE=∠MGF=90°，根据两对角相等的两三角形相似得到△EMH和△FMG相似，根据相似三角形对应边成比例即可得证．

【解析】
（1）过点M作MH⊥AD于H，MG⊥AB于G，连接AM，如图1，
∵M是正方形ABCD的对称中心，
∴M是正方形对角线的交点，
∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG，
∵正方形ABCD、QMNP，
∴∠BAD=∠EMF=90°，
∴∠HMG=90°，
∴∠EMF=∠MGF，
∴∠EMH=∠FMG，
∵∠MHE=∠MGF=90°，
∴△MHE≌△MGF，
∴ME=MF；

（2）ME=MF．
证明：过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，如图2，
∵M是菱形ABCD的对称中心，
∴M是菱形ABCD对角线的交点，
∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG，
∵∠EMF=∠B，
∴∠QMN+∠BAD=180°，
又∵∠HMG+∠BAD=180°，
∴∠QMN=∠HMG，
∴∠QMN-∠HMN=∠HMG-∠HMN，
∴∠EMH=∠FMG，
又∵∠MHE=∠MGF=90°，且MH=MG，
∴△MHE≌△MGF，
∴ME=MF；

（3）MF=mME．
证明：过M作MH⊥AB于H，MG⊥AD与G，如图3，
∵M是矩形ABCD的对称中心，
∴M是矩形ABCD对角线的交点，又AB=mBC，
则MG=AB，MH=BC，即MG=mMH，
∴∠A=∠MHA=∠MGA=90°，
∴四边形AHMG为矩形，则∠HMG=90°，
又∵四边形MNPQ是矩形，
∴∠NMQ=∠HMG=90°，
∴∠NMQ-∠HMF=∠HMG-∠HMF，即∠EMH=∠FMG，
∴△EMH∽△FMG，
∴==，即MF=mME．
故答案为：MF=mME．